Üslü İfadeler konu anlatımı

Ü S L Ü İ F A D E L E R

TANIM:  a bir reel gerçel sayı ve nZ⁺ olsun. a.a.a...a=aⁿ olacak şekilde, n tane a’nın çarpımı olan aⁿ e üslü ifadeler denir.

Örnek/ a) 3.3.3.3=3⁴ b) c)

UYARI : a bir reel sayı ve nZ⁺ olmak üzere a+a+a+...+a = n.a olduğu için aⁿ ile n.a ifadeleri birbirine karıştırılmamalıdır. Yani aⁿ  n.a dır.

Örnek / 2+2+2+2+2 = 5.2 olup aynı şekilde 2.2.2.2.2 = 2⁵ olduğuna dikkat edilmelidir.

Not : 1-) a0 olmak şartıyla a⁰ = 1 dir.

2-) 0⁰ = ifadesi tanımsızdır.

3-) 1ⁿ = 1 dir (nIR)

Örnek/ a) 8⁰ =1 b) c) ( bu gibi örneklerde parantez içinin bilinmesi gerekir.) d) 1¹⁵ =1 e) 1^-15 = 1 f)

---------------Üssün Üssü--------------------

Tanım Bir üslü ifadenin üssü üslerin çarpımına eşittir. Kural

Örnek/ a) ( 5²)³ = 5^2.3 =5⁶ b) c)

Not / 1- şeklindeki bir yazılım ifadesi yanlıştır. Çünkü n sayısının; m nin üssümü yoksa a^m nin üssümü olduğu belli değildir.

2- dir. Üslerin parantezlerle neyin üssü olduğu belirtilmelidir.

Örnek / olduğunu gösterin.

a) = 3^2.3 =3⁶ = 729

b) = 3^2.2.2 = 3⁸ =6561

Sonuç : a ve b değerlerinden yukarıda verilen eşitsizliğin doruluğu görülmüştür.

-------------------------Negatif Üs Kavramı-----------------

Tanım  a bir reel sayı olmak üzere dir. Benzer şekilde a0 ve b0 olmak üzere

Örnek / 5^-1 + 5^-2 = ?=

Örnek /

------------------------Bir Reel Sayının Üssü-------------------

Tanm Pozitif sayıların bütün kuvvetleri pozitiftir. Kural a  0  aⁿ  0 dır.

Örnek / a) 4² = 16  0 b) 4^-2 = c) 4⁰ = 1  0

Tanım  1- Negatif sayıların Çift Kuvvetleri Pozitiftir. Kural a  0 ve n bir çift sayı ise aⁿ  0

Tanım  2- Negatif sayıların Tek Kuvvetleri Negatiftir.Kural a  0 ve n bir tek sayı ise aⁿ  0

Örnek / 1- (-4)² = 16  0

Örnek / 2- (-4)³ = -64  0

Not  a  0 ve n bir çift sayı ise (-a)ⁿ  -aⁿ eşitsizliği doğrudur.

Örnek / 1- (-2)⁴  -2⁴ Çünkü (-2)⁴ = (+16) ve –2⁴ = -2.2.2.2= -16

Örnek / 2- (-5)³ + (-5³) = (- 125) + (-125) = (-250)

Örnek / 3- (-5)⁴ + (-5⁴) = (+625) + (-625) = 0

Örnek / 4- (-3)³ + (-5²) + (-4)² = (-27) + (-25) + (+16) = (-36)

---------------------Üslü İfadelerde Dört İşlem-------------------

1- Toplama ve Çıkarma İşlemi

Tanım  Üslü ifadelerde toplama ve çıkarma işleminin yapılabilmesi için benzer terimlerin üs ve tabanlarının aynı olması gerekir

Kural : a.Xⁿ b.Xⁿ = (ab).Xⁿ

Örnek / 1- 5.10³ + 2.10³ = (5+2).10³

Örnek / 1- 5.10³ - 2.10³ = (5-2).10³

Not m  n ise a^m aⁿ işlemi bu haliyle yapılamaz.

Örnek / 10⁵ + 10⁴ = işleminde 54 olup düzenleme yaparak işlem tamamlanır.

1.10⁵ = 10.10⁴

Burdan 10.10⁴ + 1.10⁴ = (10+1). 10⁴

Örnek / 5⁵ + 5⁴ = 5.5⁴ + 5⁴ = (5+1). 5⁴

2- Çarpma ve Bölme İşlemi

Tanım Bir üslü ifadede Çarpma ve Bölme İşleminin yapılabilmesi için benzer terimlerin tabanlarının ayını olması gerekir.

Kural / 1- (a.X^m) .(b.Xⁿ) = (a.b).X^m+n

Kural  2- (a.X^m)  (b.Xⁿ) = (ab).X^m-n veya

Örnek / (2.5² ) . (3.5⁴) = 2.3.5²⁺⁴ =6.5⁶

Örnek / (8.3⁶)  (4.3²) =

Örnek /

Örnek / 15^a = 3^a-2 olduğuna göre 5^a nın değerini bulalım.

15^a = 3^a-2 = (3.5)^a = şeklinde yazılırsa

15^a = 3^a-2 = (3.5)^a =

= 3^a.5^a =

= 3² . 3^a.5 ^a = 3^a

= 9.5^a =

= 9.5^a = 1

= 5^a=

------------------Üslü Denklemler--------------------

1- Tabanları Eşit Olan Denklemler:

KURAL: Tabanları eşit olan üslü denklemlerin üsleri de eşittir.

a  0, a  -1, a  1 olmak üzere a^m  aⁿ  mn dir

ÖRNEK/ 1- 2^x  2⁵  x5 tir.

2- 3^x  81  3^x 3⁴  x4 tür.

3- 2^x+8  8 olduğuna göre, x=?

2^x+8  2^x . 2⁸ olup

2^x . 2⁸  8 yerine konur ise, burdan 8  2³ olup

2^x . 2⁸  2³

2^x  2³ 2⁸

2^x  2^3-8

2^x  2^-5 olup burdan x  -5 bulunur.

ÖRNEK / eşitliğini sağlayan x değerini bulalım.

ÇÖZÜM / 5^x+1-(2-x)  (5³)^x-3

5^x+1-2+x 5^3(x-3)

5^2x-1 5^3x-9 (Tabanlar eşit olup üsler eşit olmalıdır.)

2x-1  3x-9

2x –3x  -9+1

-x  -8

x  8

2- Üsleri eşit olan denklemler:

KURAL  Üsleri eşit olan denklemlerde üs tek sayı ise tabanları eşit, üs çift sayı ise tabanlar eşit yada biri diğerinin ters işaretlisine eşittir.

n tek sayı ve aⁿ  bⁿ  ab dir.

n çift sıyı ve aⁿ  bⁿ  ab veya a  -b dir.

ÖRNEK/ 1- x³5³ x5 tir.

2- (x+7)³(3x-11)³ eşitliğini sağlayan x değerini bulalım.

Çözüm: 33 yani üsler eşit olduğundan tabanlarda eşit olmak zorundadır. Burdan,

(x+7)  (3x-11) olup parantezleri açalım

x+7  3x-11

7+11 3x-x

18  2x

x 

x  9

ÖRNEK / (2X+3)⁴ (X-2)⁴ eşitliğini sağlayan x değerlerini bulalım.

ÇÖZÜM / 4çift sayı olduğu için

(2x+3)⁴ (X-2)⁴ 

2x+3 x-2 Veya 2x+3 -(x-2)

2x-x -2-3 Veya 2x+3 -x+2

x5 Veya 2x+x 2-3

3x  -1

x

KURAL  xⁿ  1 şeklinde olan denklemler.

Bu tür denklemlerin çözümünde 3 durum vardır.

X=1.............................1. durum

Veya

N=0 ve x0 ................2. durum

Veya

x -1 ve n çift sayı......3. durum

Xⁿ  1 

ÖRNEK / 1- 1⁸  1 dir. Çünkü 1 in tüm reel kuvvetleri 1 dir.

2- 5⁰  1 dir. Çünkü 0 dışındaki tüm reel sayıların 0 ıncı kuvvetleri 1 dir.

3- (-1)⁶  1 dir. Çünkü (-1) in tüm çift kuvvetleri 1 dir.

4- 5^3x-15  1 ise x

Çözüm: 5^3x-15  1 ise

3x-15  0 olmalıdır,burdan

3x  15

x  153

x 

ÖRNEK / (5x+3)⁷  1 ise x değerini hesaplayın.

ÇÖZÜM: (5x+3)⁷  1⁷ (1⁷1 olup ) Burdan bu eşitliğin tabanları eşit olmalıdır.

(5x+3)  1

5x+3  1

5x  1-3

5x  -2

x 

ÖRNEK / (x+3)^x-2= 1 eşitliğini sağlayan x değerini bulalım.

ÇÖZÜM / 1. DURUM..: x+3=1x1-3

x-2------()

2. DURUM..: x-20--.--()

x2-------() Bu kök üssü sıfır yapmadığı için alınır.

3. DURUM...: X+3 -1

x-4------() Bu kök yazıldığında üs çift sayı olacağı için, bu kök de alınır. O halde denklemi sağlayan x değerleri : -4 , -2 , 2 dir.

ÖRNEK / işleminin sonucunu üslü ifade olarak yazalım.

ÇÖZÜM / = 6.10^x

Bu iki sonuçtan

=3.5^x

=

=2.2^x

=2¹ . 2^x

=2^1+x

A. TANIM

a bir gerçel (reel) sayı ve n bir sayma sayısı olmak üzere,

ifadesine üslü ifade denir.

k . aⁿ ifadesinde k ya kat sayı, a ya taban, n ye üs denir.

B. ÜSLÜ İFADENİN ÖZELİKLERİ

1) a  0 ise, a⁰ = 1 dir.

2) 0⁰ tanımsızdır.

3) n  IR ise, 1ⁿ = 1 dir.

4)

5) (a^m)ⁿ = (aⁿ)^m = a^{m . n}

6)

7)

8) Pozitif sayıların bütün kuvvetleri pozitiftir.

9) Negatif sayıların; çift kuvvetleri pozitif, tek kuvvetleri negatiftir.

10) n bir tam sayı ve a bir gerçel (reel) sayı olmak üzere,

I) (– a)²ⁿ = a²ⁿ ifadesi daima pozitiftir. (a, sıfırdan farklı bir gerçel sayı)

II) (– a²ⁿ) = – a²ⁿ ifadesi daima negatiftir. (a, sıfırdan farklı bir gerçel sayı)

III) (– a)^{2n + 1} = – a^{2n + 1} ifadesi a pozitif ise negatif, a negatif ise pozitiftir.

11) (n + 1) basamaklı sayısı a . 10ⁿ ye eşittir.

12)

C. ÜSLÜ İFADELERDE DÖRT İŞLEM

1) x . aⁿ + y . aⁿ – z . aⁿ = (x + y – z) . aⁿ

2) a^m . aⁿ = a^{m + n}

3) a^m . b^m = (a . b)^m

4)

5)

D. ÜSLÜ DENKLEMLER

1) a  0, a  1, a  – 1 olmak üzere,

a^x = a^y ise x = y dir.

2) n, 1 den farklı bir tek sayı ve xⁿ = yⁿ ise,

x = y dir.

3) n, 0 dan farklı bir çift sayı ve xⁿ = yⁿ ise,

x = ± y dir.

4)

A.ÜSLÜ İFADELER Uyarı !!

Pozitif sayıların tüm kuvvetleri pozitiftir. Negatif sayıların tek kuvvetleri negatif Çift kuvvetleri ise pozitiftir.

A bir reel sayı ve n bir pozitif tamsayı olmak üzere

n tane a’ nın çapımı olan a ⁿ ‘ye denir.

a.a.a.a..........a =a n

aⁿ ifadesinde n ‘ye üs (kuvvet) , a ‘ya ise taban denir.

Örnek..1

1. 
   
   5 ² =5.5 =25 Örnek...3
   
   
   
2. 
   
   4 ³ =4.4.4 = 64
   
   
   
3. 
   
   (-3) ⁴ = (- 3).(-3).(-3).(-3) = 81 a) ( - 1) ³⁰ = 1
   
   
   
4. 
   
   (2/7) ²= 2/7 . 2/7 = 4/7
   
   
   

b) ( -1) ² = -1

Uyarı !! c) ( - 5) ² = 25

1) a n ifadesi , n.a ifadesiyle asla karıştırılmamalıdır. Çünkü; n.a = a+a+a+..............+a olduğu için Bazı özel durumlar dışında a n= n.a dır.

d) – 5 ² = -25

e) ( - 2) ⁴ = 1

f) - 2 ⁶ = - 64

g) ( - 2) ⁶ = 64
Not : Yukarıdaki örneklerden de anlaşıldığı gibi

-3 2 = ( - 3) 2

( - 3) ² = 9 3- ²= - 9

Kural – 1

a sıfırdan farklı bir reel sayı üzere a 0 = 1

SORU 1

( - 2) ⁴ – 2 ⁴

işleminin sonucu kaçtır?

Kural – 2

0 0 tanımsızdır. 2) 1 n = 1

A) –32 B) –16 C) 0 D)16 E) 32

Çözüm

( - 2) ⁴ – 2 ⁴ = 2 ⁴ – 2 ⁴ = 0 Cevap C

Örnek...2 B. ÜSSÜN ÜSSÜ ( Kuvvetin kuvveti )

0

a) 7 ⁰= 1 b) = 1 Aynı taban üzerindeki kuvvetlerin çarpımına

( a m ) n = a m.n

eşittir.

d) 1 ¹⁵ = 1 c) (- 8 ) ⁰= 1

2 ^{- 2} 3 ²

Örnek...4 c) =

3 2

1. 
   
   ( ( - 2) ⁵) ³ = ( - 2) ¹⁵ = - 2 ¹⁵
   
   
   

2. 
   
   ( ( 2 ³) ²) ⁴ = 2 ²⁴
   
   
   

1

c) ( -5 ³) ⁷ = -5 ²¹ d) ( -2) ^{– 3} =

( -2 ) ³

SORU 2

( 16 ²) ³ ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir?

e) 1 a ⁷

A) 2 ⁸ B) 2 ¹² C) 2 ¹⁶ D) 2 ²⁴ E) 2 a^{- 7}

Çözüm SORU 3

( 16 ²) ³ = [( 2 ⁴) ²] ³ = 2 ²⁴ Cevap D 2 ^-1 5 ^-1

+ İşleminin ,

a m ifadesi bilinmezdir.

Uyarı 5 2

sonucu kaçtır ?

7 10 13

A) B) C)

5 3 5

C. NEGATİF ÜS : D) 14 E) 17

a ve b sıfırdan farklı olmak üzere , 3 5

- n n a b b a

Çözüm

-1 1

+ = + = + =

¹³

= =

⁵

Benzer biçimde , Cevap C

1 a - n = a n

E. DÖRT İŞLEM

dir. 1.Toplama – Çıkarma :

Tabanları ve üsleri aynı olan iki üslü ifade toplanıp

çıkarılabilir.

Örnek...5

A . x n + b . x n - c . x n = ( a + b – c ) . x n

a) 2 ^–1 = b) 3 ^-2 =

Örnek...6 2 . Çarpma :

a) 3 . a ³ + 4 . a ³ + 5 . a ³ = ( 3 + 4 – 5 ) . a ³ a) Tabanları eşit olan üslü iki ifade çarpılırken; üsler

= 2a ³ toplanır , ortak taban aynen yazılır.

b) 2 . 5 ^x + 7 . 5 ^x – 4 . 5 ^x = ( 2 + 7 – 4 ) 5 ^x

a m . a m+n

= 5 . 5 ^x

=5 ^x+1

c) 3x ³ + 4y ³ – 7x ³ + y ³ = ( 3 – 7)x ³+ ( 4 + 1 )y ³ b) Üsleri eşit olan iki üslü ifade çarpılırken , ortak

= - 4x ³ + 5y ³ üs aynen yazılır , tabanlar çarpılır.

A m . b m = ( a . b ) m

d) 3 ⁴ 3 ⁴ 3 ⁴

- + = ?

2 5 4

Örnek...7

1 1 1

= - + . 3 ⁴

2 5 4 a) 3 ⁶ . 3 ^–2 . 3 ⁷ = 3 ^{6 –2 + 7} = 3 ¹¹

= . 3 ⁴ b) ( - 2) ³ . ( - 2) ² = ( - 2) ³⁺² = ( - 2) ⁵ = -32

c) a ^{3n + 5} . a ^2x+1 = a ^{3x+5+ 2x+1} = a ^{5x+ 6}

d) 2 ⁷ . 5 ⁷ = 10 ⁷

SORU 4 ⁵ 3 ⁵ 6 ⁵

3 . 4 ⁿ + 4 ⁿ⁺¹ – 2 ²ⁿ⁺³ e) . = = 1

ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir ? 2 6

A) 4 ⁿ B) 4 ^{n+ 2} C) 4 ^n-1 D) – 4 ⁿ E) – 4 ⁿ+ 1

^{6 6}

f ) . ( 2 ) ⁶

Çözüm

^{n n n}

3 . 4 ⁿ + 4 ⁿ⁺¹ – 2 ²ⁿ⁺³ = 3 . 4 ⁿ + 4 ¹ . 4 ⁿ – 2 ³ . 2 ²ⁿ g )

= 3 . 4 ⁿ + 4 . 4 ⁿ – 8 . 4 ^{n . .}

= ( 3 + 4 – 8 ) . 4 ⁿ

ⁿ

= ( - 1) . 4 ⁿ

= = 1

= - 4 ⁿ Cevap D

h) ^{n n n} 3 . Bölme :

2a 3b 1

b a 6 a) Tabanları eşit olan üslü ifadeler bölünürken üsler

çıkarılır , ortak taban aynen yazılır.

n

a m a m - n a n

2a 3b 1 = 1

b a 6

SORU 5

^{m + n m + n} b) Üsleri eşit olan üslü ifadeler bölünürken;

.

işleminin sonucu tabanlar bölünür , ortak üs aynen yazılır.

a m a m b m b

aşağıdakilerden hangisidir ?

^{m + n m + n}

A) B) C) 1

D) 5 ^{m - n} E) 5 ^{m + n} Örnek...8

a) a ⁷

Çözüm a ⁷ – ³ = a ⁴

a ³

5 ^m 3 ^{n m + n}

= 1 ^{m + n} = 1 b) (- 3) ⁸

3 ⁿ 5 ⁿ = ( - 3) ^{8 – 5} = ( - 3) ³ = - 27

(- 3) ⁵

Cevap C

SORU 6

c) a ^{3x + 2}

( - a) ⁷ . ( - a ⁴) . ( - a) ^{– 2} = a ^{3x+2 - ( 2x – 1)}

a ^{2x +1}

çarpımı aşağıdakilerden hangisine eşittir ? = a ^{x - 3}

A) a ⁹ B) – a ⁹ C ) a ^–9 D) a ¹³ E) – a ¹³

d) 2 ⁷ + 2 ⁷ + 2 ⁷ + 2 ⁷ 4 . 2 ⁷

Çözüm =

2 ⁶ + 2 ⁶ 2 . 2 ⁶

( - a) ⁷ = - a ⁷

( - a ⁴) = - a ⁴ 2 ⁹

=

( - a ) ^{– 2} = a^{- 2} olduğu için , = - a ⁷ . ( - a ⁴) . a ^–2 2 ⁷

= a ⁷ . a ⁴ . a ^–2 = 2 ^{9 -7}

= a ^{7 + 4 – 2} = 2 ²

= a ⁹ = 4

ÜSLÜ İFADELER

TANIM:x bir reel sayı ve n Z olmak üzere, n tane x in çarpımını x ile gösterilir.X ifadesinde, x e taban,y ye ise üs denir.

X R ve n z için x.x.x.x.x....x=x dir.

ÜSLÜ İFADELERDE ÇARPMA İŞLEMİ

A)tabanları eşit olan üslü iki sayı ifadeyi çarparken;üsler toplanarak verilen tabana üst olarak yazılır.

X R-{0} ve m z olmak üzere, x.x=x dir.

ÖRNEKLER

1)3.3=3 =3 2)2 . 2 . 2 =2 =2 3) (a-1) (a-1)=(a-1) =(a-1)

B)tabanları farklı,üsleri eşit olan üslü ifadeler çarpılırken;ortak üs,tabanlar çarpımına üs olarak yazılır.

x.y R-{0} ve n Z olmak üzere, x .y =(x.y) dır.

ÖRNEKLER:2 .3 =(2.3) =6 2)n Z olmak üzere , (-x) =x olduğunu gösteriniz. (-x) =(-1.x) = (-1.) =(1-) . x = x

3)(-2) =-2 4)(-3) = 3 5)(-x). (y) =(-x.y) = (xy)

ÜSLÜ İFADELERDE BÖLME İŞLEMİ

A)Tabanları eşit olan iki ifadeyi bölerken; payın üstünden payının üssü çıkarılır verilen tabana yazılır.

X R –{0} ve m,n Z olmak üzere, x x

ÜSLÜ BİR İFADENİN KUVVETLERİ

X R ve n,m Z için, (x )=(x ) =x dir.

ÖRNEKLER: 1) (2 ) = 2 2)(-2 ) =2 3)2 = a ve 3 =b ise,24 ifadesini a ve b türünden değerini bulunuz? 24 =(2 . 3) =2 .3 =(2 ) . 3

= a .b bulunur.

BENZER ÜSLÜ İFADELER

Benzer üslü ifadeler toplamak veya çıkarmak mümkündür.Toplama veya çıkarma işlemi yapılırken, katsayılar birbirleriyle toplanır veya çıkartılır.

a.x +b .x - c.x = (a+b – c) x dır.

ÖRNEKLER:1) 4x - 3x + 7x -5x = 84 – 3 + 7 – 5) .x =3x

2)5.3 – 4.3 + 9.3 – 6.3 =(5 – 4+9 – 69 . 3 =4.3

ÜSLÜ İFADELERİN EŞİTLİĞİ

Tabanları eşit olan iki üslü ifadenin eşit olabilmesi için, üsleri eşit olmalıdır.

a{-1,0,1} olmak üzere, a =a n=m dır.