Dersler etiketine sahip kayıtlar gösteriliyor. Tüm kayıtları göster

Ü S L Ü İ F A D E L E R

TANIM:  a bir reel gerçel sayı ve nZ⁺ olsun. a.a.a...a=aⁿ olacak şekilde, n tane a’nın çarpımı olan aⁿ e üslü ifadeler denir.

Örnek/ a) 3.3.3.3=3⁴ b)

UYARI : a bir reel sayı ve nZ⁺olmak üzere a+a+a+...+a = n.a olduğu için aⁿ ile n.a ifadeleri birbirine karıştırılmamalıdır. Yani aⁿ  n.a dır.

Örnek / 2+2+2+2+2 = 5.2 olup aynı şekilde 2.2.2.2.2 = 2⁵ olduğuna dikkat edilmelidir.

Not : 1-) a0 olmak şartıyla a⁰ = 1 dir.

2-) 0⁰ = ifadesi tanımsızdır.

3-) 1ⁿ = 1 dir (nIR)

Örnek/ a) 8⁰ =1 b)

( bu gibi örneklerde parantez içinin bilinmesi gerekir.) d) 1¹⁵ =1 e) 1^-15 = 1 f)

---------------Üssün Üssü--------------------

Tanım Bir üslü ifadenin üssü üslerin çarpımına eşittir. Kural

Örnek/ a) ( 5²)³ = 5^2.3=5⁶ b)

Not / 1-

şeklindeki bir yazılım ifadesi yanlıştır. Çünkü n sayısının; m nin üssümü yoksa a^m nin üssümü olduğu belli değildir.

dir. Üslerin parantezlerle neyin üssü olduğu belirtilmelidir.

Örnek /

olduğunu gösterin.

= 3^2.3 =3⁶ = 729

= 3^2.2.2 = 3⁸=6561

Sonuç : a ve b değerlerinden yukarıda verilen eşitsizliğin doruluğu görülmüştür.

-------------------------Negatif Üs Kavramı-----------------

Tanım  a bir reel sayı olmak üzere

dir. Benzer şekilde a0 ve b0 olmak üzere

Örnek / 5^-1+ 5^-2 = ?=

Örnek /

------------------------Bir Reel Sayının Üssü-------------------

Tanm Pozitif sayıların bütün kuvvetleri pozitiftir. Kural a  0  aⁿ 0 dır.

Örnek / a) 4² = 16  0 b) 4^-2 =

c) 4⁰ = 1  0

Tanım  1- Negatif sayıların Çift Kuvvetleri Pozitiftir. Kural a  0 ve n bir çift sayı ise aⁿ  0

Tanım  2- Negatif sayıların Tek Kuvvetleri Negatiftir.Kural a  0 ve n bir tek sayı ise aⁿ  0

Örnek / 1- (-4)² = 16  0

Örnek / 2- (-4)³ = -64  0

Not  a  0 ve n bir çift sayı ise (-a)ⁿ  -aⁿ eşitsizliği doğrudur.

Örnek / 1- (-2)⁴  -2⁴ Çünkü (-2)⁴ = (+16) ve –2⁴ = -2.2.2.2= -16

Örnek / 2- (-5)³ + (-5³) = (- 125) + (-125) = (-250)

Örnek / 3- (-5)⁴ + (-5⁴) = (+625) + (-625) = 0

Örnek / 4- (-3)³ + (-5²) + (-4)² = (-27) + (-25) + (+16) = (-36)

---------------------Üslü İfadelerde Dört İşlem-------------------

1- Toplama ve Çıkarma İşlemi

Tanım  Üslü ifadelerde toplama ve çıkarma işleminin yapılabilmesi için benzer terimlerin üs ve tabanlarının aynı olması gerekir

Kural : a.Xⁿ

b.Xⁿ = (a

b).Xⁿ

Örnek / 1- 5.10³ + 2.10³ = (5+2).10³

Örnek / 1- 5.10³ - 2.10³ = (5-2).10³

Not m  n ise a^m

aⁿişlemi bu haliyle yapılamaz.

Örnek / 10⁵ + 10⁴ = işleminde 5

4 olup düzenleme yaparak işlem tamamlanır.

1.10⁵ = 10.10⁴

Burdan 10.10⁴ + 1.10⁴ = (10+1). 10⁴

Örnek / 5⁵ + 5⁴ = 5.5⁴ + 5⁴ = (5+1). 5⁴

2- Çarpma ve Bölme İşlemi

Tanım Bir üslü ifadede Çarpma ve Bölme İşleminin yapılabilmesi için benzer terimlerin tabanlarının ayını olması gerekir.

Kural / 1- (a.X^m) .(b.Xⁿ) = (a.b).X^m+n

Kural  2- (a.X^m)  (b.Xⁿ) = (ab).X^m-nveya

Örnek / (2.5² ) . (3.5⁴) = 2.3.5²⁺⁴ =6.5⁶

Örnek / (8.3⁶)  (4.3²) =

Örnek /

Örnek / 15^a= 3^a-2 olduğuna göre 5^anın değerini bulalım.

15^a= 3^a-2 = (3.5)^a =

şeklinde yazılırsa

15^a= 3^a-2 = (3.5)^a =

= 3^a.5^a =

= 3² . 3^a.5^a = 3^a

= 9.5^a=

= 9.5^a = 1

= 5^a=

------------------Üslü Denklemler--------------------

1- Tabanları Eşit Olan Denklemler:

KURAL: Tabanları eşit olan üslü denklemlerin üsleri de eşittir.

a  0, a  -1, a  1 olmak üzere a^m  aⁿ  mn dir

ÖRNEK/ 1- 2^x  2⁵  x5 tir.

2- 3^x  81  3^x 3⁴  x4 tür.

3- 2^x+8  8 olduğuna göre, x=?

2^x+8  2^x . 2⁸ olup

2^x . 2⁸  8 yerine konur ise, burdan 8  2³ olup

2^x . 2⁸  2³

2^x  2³ 2⁸

2^x  2^3-8

2^x  2^-5 olup burdan x  -5 bulunur.

ÖRNEK /

eşitliğini sağlayan x değerini bulalım.

ÇÖZÜM / 5^x+1-(2-x)  (5³)^x-3

5^x+1-2+x 5^3(x-3)

5^2x-1 5^3x-9 (Tabanlar eşit olup üsler eşit olmalıdır.)

2x-1  3x-9

2x –3x  -9+1

-x  -8

x  8

2- Üsleri eşit olan denklemler:

KURAL  Üsleri eşit olan denklemlerde üs tek sayı ise tabanları eşit, üs çift sayı ise tabanlar eşit yada biri diğerinin ters işaretlisine eşittir.

n tek sayı ve aⁿ bⁿ ab dir.

n çift sıyı ve aⁿ bⁿ  ab veya a  -b dir.

ÖRNEK/ 1- x³5³ x5 tir.

2- (x+7)³(3x-11)³eşitliğini sağlayan x değerini bulalım.

Çözüm: 33 yani üsler eşit olduğundan tabanlarda eşit olmak zorundadır. Burdan,

(x+7)  (3x-11) olup parantezleri açalım

x+7  3x-11

7+11 3x-x

18  2x

x 

x  9

ÖRNEK / (2X+3)⁴ (X-2)⁴ eşitliğini sağlayan x değerlerini bulalım.

ÇÖZÜM / 4çift sayı olduğu için

(2x+3)⁴ (X-2)⁴ 

2x+3 x-2 Veya 2x+3 -(x-2)

2x-x -2-3 Veya 2x+3 -x+2

x5 Veya 2x+x 2-3

3x  -1

x

KURAL  xⁿ 1 şeklinde olan denklemler.

Bu tür denklemlerin çözümünde 3 durum vardır.

X=1.............................1. durum

Veya

N=0 ve x0 ................2. durum

Veya

x -1 ve n çift sayı......3. durum

Xⁿ  1 

ÖRNEK / 1- 1⁸  1 dir. Çünkü 1 in tüm reel kuvvetleri 1 dir.

2- 5⁰ 1 dir. Çünkü 0 dışındaki tüm reel sayıların 0 ıncı kuvvetleri 1 dir.

3- (-1)⁶ 1 dir. Çünkü (-1) in tüm çift kuvvetleri 1 dir.

4- 5^3x-15 1 ise x

Çözüm: 5^3x-15 1 ise

3x-15  0 olmalıdır,burdan

3x  15

x  153

x 

ÖRNEK / (5x+3)⁷  1 ise x değerini hesaplayın.

ÇÖZÜM: (5x+3)⁷  1⁷ (1⁷1 olup ) Burdan bu eşitliğin tabanları eşit olmalıdır.

(5x+3)  1

5x+3  1

5x  1-3

5x  -2

x 

ÖRNEK / (x+3)^x-2= 1 eşitliğini sağlayan x değerini bulalım.

ÇÖZÜM / 1. DURUM..: x+3=1x1-3

x-2------()

2. DURUM..: x-20--.--()

x2-------() Bu kök üssü sıfır yapmadığı için alınır.

3. DURUM...: X+3 -1

x-4------() Bu kök yazıldığında üs çift sayı olacağı için, bu kök de alınır. O halde denklemi sağlayan x değerleri : -4 , -2 , 2 dir.

ÖRNEK /

işleminin sonucunu üslü ifade olarak yazalım.

ÖZÜM /

= 6.10^x

Bu iki sonuçtan

=3.5^x

=2.2^x

=2¹ . 2^x

=2^1+x

A. TANIM

a bir gerçel (reel) sayı ve n bir sayma sayısı olmak üzere,

ifadesine üslü ifade denir.

k . aⁿ ifadesinde k ya kat sayı, a ya taban, n ye üs denir.

B. ÜSLÜ İFADENİN ÖZELİKLERİ

1) a  0 ise, a⁰ = 1 dir.

2) 0⁰ tanımsızdır.

3) n  IR ise, 1ⁿ = 1 dir.

5) (a^m)ⁿ = (aⁿ)^m = a^{m . n}

8) Pozitif sayıların bütün kuvvetleri pozitiftir.

9) Negatif sayıların; çift kuvvetleri pozitif, tek kuvvetleri negatiftir.

10) n bir tam sayı ve a bir gerçel (reel) sayı olmak üzere,

I) (– a)²ⁿ = a²ⁿ ifadesi daima pozitiftir. (a, sıfırdan farklı bir gerçel sayı)

II) (– a²ⁿ) = – a²ⁿ ifadesi daima negatiftir. (a, sıfırdan farklı bir gerçel sayı)

III) (– a)^{2n + 1} = – a^{2n + 1} ifadesi a pozitif ise negatif, a negatif ise pozitiftir.

11) (n + 1) basamaklı sayısı a . 10ⁿ ye eşittir.

12)

C. ÜSLÜ İFADELERDE DÖRT İŞLEM

1) x . aⁿ + y . aⁿ – z . aⁿ = (x + y – z) . aⁿ

2) a^m . aⁿ = a^{m + n}

3) a^m . b^m = (a . b)^m

D. ÜSLÜ DENKLEMLER

1) a  0, a  1, a  – 1 olmak üzere,

a^x = a^y ise x = y dir.

2) n, 1 den farklı bir tek sayı ve xⁿ = yⁿ ise,

x = y dir.

3) n, 0 dan farklı bir çift sayı ve xⁿ = yⁿ ise,

x = ± y dir.

A.ÜSLÜ İFADELER Uyarı !!

Pozitif sayıların tüm kuvvetleri pozitiftir.

Negatif sayıların tek kuvvetleri negatif

Çift kuvvetleri ise pozitiftir.

A bir reel sayı ve n bir pozitif tamsayı olmak üzere

n tane a’ nın çapımı olan aⁿ ‘ye denir.

a.a.a.a..........a =aⁿ

aⁿ ifadesinde n ‘ye üs (kuvvet) , a ‘ya ise taban denir.

Örnek..1

5² =5.5 =25 Örnek...3
4³ =4.4.4 = 64
(-3)⁴ = (- 3).(-3).(-3).(-3) = 81 a) ( - 1)³⁰ = 1
(2/7)²= 2/7 . 2/7 = 4/7

b) ( -1)² = -1

Uyarı !! c) ( - 5)² = 25

1) a ⁿ ifadesi , n.a ifadesiyle asla karıştırılmamalıdır.

Çünkü; n.a = a+a+a+..............+a olduğu için

Bazı özel durumlar dışında aⁿ= n.a dır.

d) – 5² = -25

e) ( - 2) ⁴ = 1

f) - 2⁶ = - 64

g) ( - 2)⁶ = 64
Not : Yukarıdaki örneklerden de anlaşıldığı gibi

-3² = ( - 3)²

( - 3)² = 9 3- ²= - 9

Kural – 1

a sıfırdan farklı bir reel sayı üzere

a⁰ = 1

SORU 1

( - 2)⁴ – 2⁴

işleminin sonucu kaçtır?

Kural – 2

0⁰ tanımsızdır.

2) 1ⁿ = 1

A) –32 B) –16 C) 0 D)16 E) 32

Çözüm

( - 2)⁴ – 2⁴ = 2⁴ – 2⁴ = 0 Cevap C

Örnek...2 B. ÜSSÜN ÜSSÜ ( Kuvvetin kuvveti )

a) 7⁰= 1 b) = 1 Aynı taban üzerindeki kuvvetlerin çarpımına

( a^m )ⁿ = a^m.n

eşittir.

d) 1¹⁵ = 1 c) (- 8 )⁰= 1

2 ^{- 2} 3 ²

Örnek...4 c) =

3 2

( ( - 2)⁵)³ = ( - 2)¹⁵ = - 2¹⁵

( ( 2³)²)⁴ = 2²⁴

c) ( -5³)⁷ = -5²¹ d) ( -2)^{– 3} =

( -2 )³

SORU 2

( 16²)³ ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir?

e) 1 a⁷

A) 2⁸ B) 2¹² C) 2 ¹⁶ D) 2²⁴ E) 2 a^{- 7}

Çözüm SORU 3

( 16²)³ = [( 2⁴)²] ³ = 2²⁴ Cevap D 2 ^-1 5^-1

+ İşleminin ,

a^m ifadesi bilinmezdir.

Uyarı 5 2

sonucu kaçtır ?

7 10 13

A) B) C)

5 3 5

C. NEGATİF ÜS : D) 14 E) 17

a ve b sıfırdan farklı olmak üzere , 3 5

- n n

a b

b a

Çözüm

-1 1

+ = + = + =

¹³

= =

⁵

Benzer biçimde , Cevap C

a^{- n} =

aⁿ

E. DÖRT İŞLEM

dir. 1.Toplama – Çıkarma :

Tabanları ve üsleri aynı olan iki üslü ifade toplanıp

çıkarılabilir.

Örnek...5

A . xⁿ + b . xⁿ - c . xⁿ = ( a + b – c ) . xⁿ

a) 2^–1 = b) 3^-2 =

Örnek...6 2 . Çarpma :

a) 3 . a³ + 4 . a³ + 5 . a³ = ( 3 + 4 – 5 ) . a³a) Tabanları eşit olan üslü iki ifade çarpılırken; üsler

= 2a³ toplanır , ortak taban aynen yazılır.

b) 2 . 5^x + 7 . 5^x – 4 . 5^x= ( 2 + 7 – 4 ) 5^x

a^m . a^m+n

= 5 . 5^x

=5^x+1

c) 3x³ + 4y³ – 7x³ + y³ = ( 3 – 7)x³+ ( 4 + 1 )y³ b) Üsleri eşit olan iki üslü ifade çarpılırken , ortak

= - 4x³ + 5y³üs aynen yazılır , tabanlar çarpılır.

A^m . b^m = ( a . b )^m

d) 3⁴3⁴3⁴

- + = ?

2 5 4

Örnek...7

1 1 1

= - + . 3⁴

2 5 4 a) 3⁶ . 3^–2 . 3⁷ = 3^{6 –2 + 7} = 3¹¹

= . 3⁴ b) ( - 2)³ . ( - 2)² = ( - 2)³⁺² = ( - 2)⁵ = -32

c) a^{3n + 5} . a^2x+1 = a^{3x+5+ 2x+1} = a^{5x+ 6}

d) 2⁷ . 5⁷ = 10⁷

SORU 4 ⁵3 ⁵6 ⁵

3 . 4ⁿ + 4ⁿ⁺¹ – 2²ⁿ⁺³ e) . = = 1

ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir ? 2 6

A) 4ⁿ B) 4^{n+ 2} C) 4^n-1 D) – 4ⁿ E) – 4ⁿ+ 1

^{6 6}

f ) . ( 2 )⁶

Çözüm

^{n n n}

3 . 4ⁿ + 4ⁿ⁺¹– 2²ⁿ⁺³= 3 . 4ⁿ + 4¹ . 4ⁿ – 2³ . 2²ⁿg )

= 3 . 4ⁿ + 4 . 4ⁿ – 8 . 4^{n . .}

= ( 3 + 4 – 8 ) . 4ⁿ

ⁿ

= ( - 1) . 4ⁿ

= = 1

= - 4ⁿ Cevap D

h) ⁿ^{n n} 3 . Bölme :

2a 3b 1

b a 6 a) Tabanları eşit olan üslü ifadeler bölünürken üsler

çıkarılır , ortak taban aynen yazılır.

a^m a^{m - n}

a ⁿ

2a 3b 1 = 1

b a 6

SORU 5

^{m + n m + n}b) Üsleri eşit olan üslü ifadeler bölünürken;

işleminin sonucu tabanlar bölünür , ortak üs aynen yazılır.

a ^m a ^m

b^m b

aşağıdakilerden hangisidir ?

^{m + n m + n}

A) B) C) 1

D) 5^{m - n} E) 5^{m + n}Örnek...8

a) a⁷

Çözüm a⁷– ³ = a⁴

a³

5^m3^{n m + n}

= 1^{m + n} = 1 b) (- 3)⁸

3ⁿ5ⁿ= ( - 3)^{8 – 5} = ( - 3)³ = - 27

(- 3)⁵

Cevap C

SORU 6

c) a^{3x + 2}

( - a)⁷ . ( - a⁴) . ( - a)^{– 2}= a^{3x+2 - ( 2x – 1)}

a^{2x +1}

çarpımı aşağıdakilerden hangisine eşittir ? = a^{x - 3}

A) a ⁹ B) – a⁹ C ) a^–9 D) a¹³ E) – a¹³

d) 2⁷ + 2⁷ + 2⁷ + 2⁷4 . 2⁷

Çözüm =

2⁶+ 2⁶2 . 2⁶

( - a)⁷ = - a⁷

( - a⁴) = - a⁴ 2⁹

( - a )^–² = a^{- 2} olduğu için , = - a⁷ . ( - a⁴) . a^–2 2⁷

= a⁷ . a⁴ . a^–2= 2^{9 -7}

= a^{7 + 4 – 2}= 2²

= a⁹= 4

ÜSLÜ İFADELER

TANIM:x bir reel sayı ve n Z olmak üzere, n tane x in çarpımını x ile gösterilir.X ifadesinde, x e taban,y ye ise üs denir.

X R ve n z için x.x.x.x.x....x=x dir.

ÜSLÜ İFADELERDE ÇARPMA İŞLEMİ

A)tabanları eşit olan üslü iki sayı ifadeyi çarparken;üsler toplanarak verilen tabana üst olarak yazılır.

X R-{0} ve m z olmak üzere, x.x=x dir.

ÖRNEKLER

1)3.3=3 =3 2)2 . 2 . 2 =2 =2 3) (a-1) (a-1)=(a-1) =(a-1)

B)tabanları farklı,üsleri eşit olan üslü ifadeler çarpılırken;ortak üs,tabanlar çarpımına üs olarak yazılır.

x.y R-{0} ve n Z olmak üzere, x .y =(x.y) dır.

ÖRNEKLER:2 .3 =(2.3) =6 2)n Z olmak üzere , (-x) =x olduğunu gösteriniz. (-x) =(-1.x) = (-1.) =(1-) . x = x

3)(-2) =-2 4)(-3) = 3 5)(-x). (y) =(-x.y) = (xy)

ÜSLÜ İFADELERDE BÖLME İŞLEMİ

A)Tabanları eşit olan iki ifadeyi bölerken; payın üstünden payının üssü çıkarılır verilen tabana yazılır.

X R –{0} ve m,n Z olmak üzere, x

ÜSLÜ BİR İFADENİN KUVVETLERİ

X R ve n,m Z için, (x )=(x ) =x dir.

ÖRNEKLER: 1) (2 ) = 2 2)(-2 ) =2 3)2 = a ve 3 =b ise,24 ifadesini a ve b türünden değerini bulunuz? 24 =(2 . 3) =2 .3 =(2 ) . 3

= a .b bulunur.

BENZER ÜSLÜ İFADELER

Benzer üslü ifadeler toplamak veya çıkarmak mümkündür.Toplama veya çıkarma işlemi yapılırken, katsayılar birbirleriyle toplanır veya çıkartılır.

a.x +b .x - c.x = (a+b – c) x dır.

ÖRNEKLER:1) 4x - 3x + 7x -5x = 84 – 3 + 7 – 5) .x =3x

2)5.3 – 4.3 + 9.3 – 6.3 =(5 – 4+9 – 69 . 3 =4.3

ÜSLÜ İFADELERİN EŞİTLİĞİ

Tabanları eşit olan iki üslü ifadenin eşit olabilmesi için, üsleri eşit olmalıdır.

a{-1,0,1} olmak üzere, a =a n=m dır.

Devamını Oku

KPSS 2014 BAŞVURU, TERCİH, SINAV SORULARI...

matematik 2, Karmaşık Sayılar-1 konu anlatımı

Rasyonel sayılar kısa konu anlatımı selim arslanoğlu'ndan

polinomlar 1 konu anlatımı

Özel tanımlı fonksiyonlar-1 konu anlatımı

rasyonel sayılar

matematik 2, türev 2 konu anlatımı

matematik 2 Karmaşık sayılar-2

matematik üslü ifadeler konu anlatımı

matematik pratik dersler mutlaka izleyin

Matematik 2 Permütasyon 1

faiz ve karışım problemleri konu anlatımı

2006 öss matematik-2 çözümleri

trigonometri-1 konu anlatımı

matematik permutasyon konu anlatımı

Üslü İfadeler konu anlatımı

Ü S L Ü İ F A D E L E R

aⁿ ifadesinde n ‘ye üs (kuvvet) , a ‘ya ise taban denir.

Örnek..1

( - 2)⁴ – 2⁴

Kural – 2

Örnek...2 B. ÜSSÜN ÜSSÜ ( Kuvvetin kuvveti )

2 ^{- 2} 3 ²

Örnek...4 c) =

( -2 )³

SORU 2

Çözüm SORU 3

Tabanları ve üsleri aynı olan iki üslü ifade toplanıp

Örnek...5

Örnek...6 2 . Çarpma :

ÜSLÜ İFADELER

TANIM:x bir reel sayı ve n Z olmak üzere, n tane x in çarpımını x ile gösterilir.X ifadesinde, x e taban,y ye ise üs denir.

ÜSLÜ İFADELERDE ÇARPMA İŞLEMİ

ÖRNEKLER

Arşiv

Ü S L Ü İ F A D E L E R

an ifadesinde n ‘ye üs (kuvvet) , a ‘ya ise taban denir.

Örnek..1

( - 2) 4 – 2 4

Kural – 2

Örnek...2 B. ÜSSÜN ÜSSÜ ( Kuvvetin kuvveti )

2 - 2 3 2

Örnek...4 c) =

( -2 ) 3

SORU 2

Çözüm SORU 3

Tabanları ve üsleri aynı olan iki üslü ifade toplanıp

Örnek...5

Örnek...6 2 . Çarpma :

ÜSLÜ İFADELER

TANIM:x bir reel sayı ve n Z olmak üzere, n tane x in çarpımını x ile gösterilir.X ifadesinde, x e taban,y ye ise üs denir.

ÜSLÜ İFADELERDE ÇARPMA İŞLEMİ

ÖRNEKLER

aⁿ ifadesinde n ‘ye üs (kuvvet) , a ‘ya ise taban denir.

( - 2)⁴ – 2⁴

2 ^{- 2} 3 ²

( -2 )³